網路位址引發的數學問題

在安裝和改裝家中各電腦的同時，亦打算重整網路位址 (IP Address)。從前辦公室因為缺乏網路管理，引發了不少問題，經過上一年實習的經驗，發現擁有一個設定良好的網路是很重要的。所以，便定義了各類網路位址的範圍，最後決定採用以下的方案:

192.168.1.1 ~ 192.168.1.24 (網路基建)
192.168.1.25 ~ 192.168.1.48 (伺服器)
192.168.1.49 ~ 192.168.1.120 (終端機)
192.168.1.121 ~ 192.168.1.168 (虛疑電腦)
192.168.1.169 ~ 192.168.1.254 (DHCP 範圍)

採用這個方案的原因，是因為易記: 起始的位址是平方數 (1, 25, 49, 121 和 169)，而結束的位址則是 12 的倍數 (24, 48, 120, 168 和 254)，而且各範圍的距離也合適。隨即引發這個問題: 「某些平方數加一正好是十二的倍數」看來是很有規律地出現在 1 ~ 255 內，到底這是巧合 [1] 還是可以證明的呢?

昨晚想好一陣子，總算知道了答案。現在，大家可以把鎖在心深處的數學知識拿出來，解釋並不複雜，相信即使各位已經把大部份知識歸還了，仍然可以解決這個問題的。提示: 以上整個過程是基於我需要設計網路位址範圍來引述的，但如果要尋找解釋的話，就先要從簡單的概念做起，天馬行空地開始吧。

如果知道答案的話，不妨回應一下，相信我有部份朋友都會有這個時間的~~

意寄 : 今天才知道三角形有四個不同類型的 centroid，還好意思出問題考驗別人......

註 [1]: 根據 "Law of small numbers" , 除非有實質的證明，否則還是不能判斷這個是否巧合。超連結內第三點和 "Related pages" 內都有很神奇的例子。我列舉了內文最引人入勝的三個例子出來：

Example 1) gcd[n^17 + 9, (n+1)^17 + 9] = 1 for all n < 8424432925592889329288197322308900672459420460792433

Example 2) the innocent-looking equation 2^x mod x = 3 has its first (only?) solution at 4700063497

Example 3)
If you just search for a positive integer solution of x^2 - 991y^2 = 1 you might end up by giving up. But theory says that it exists (and hence infinitely many exist). The least one is

x = 379516400906811930638014896080,
y = 12055735790331359447442538767.

Knowing about continued fractions saves you some work...